辅助线#

$在\triangle ABC内构造等边三角形ABD，点D在线段AC上，过点B作BH\perp AC于点H.$

证明过程#

$设AB=a, CD=b$

$在等边\triangle ABC中, AB=BD$

$\because BH \perp AD$

$\therefore AH=DH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}a$

$\therefore CH=DH+CD=\frac{1}{2}a+b$

$在Rt\triangle ABH中, \angle BAH=60\degree$

$\therefore BH=AH\cdot \tan{60\degree}=\frac{1}{2}a\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

$在Rt\triangle BCH中,根据勾股定理,$

$BC^2=BH^2+CH^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2+(\frac{1}{2}a+b)^2=a^2+b^2+ab$

$\therefore (2BC)^2=4BC^2=4(a^2+b^2+ab)=4a^2+4b^2+4ab$

$\because (AB+AC)^2=(a+a+b)^2=4a^2+b^2+4ab$

$\therefore (2BC)^2-(AB+AC)^2=3b^2\neq 0$

$\therefore 原命题得证.$

小结#

利用特殊三角形的特殊角度证明普通三角形的边角关系，从已知到未知，是一种很值得锻炼的数学思维。

辅助线#

$作\triangle ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，$

$过点O作OP\perp AB于点P，OQ\perp BC于点Q，OR\perp AC于点R.$

证明过程#

$设\odot O的半径长为r，\angle AOB=2\alpha ，\angle AOC=2\beta$

$在\odot O中，\because \angle A=60\degree$

$\therefore \angle BOC=2\angle A=120\degree$

$\because OB=OC,OQ\perp BC$

$\therefore \angle BOQ=\frac{1}{2}\angle BOC=60\degree,BC=2BQ$

$\therefore BC=2BQ=2(OB\cdot \sin{60\degree})=2(r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{3}r$

$同理AB=2r\cdot \sin{\alpha},AC=2r\cdot \sin{\beta}$

$\because \angle AOB+\angle AOC+\angle BOC=360\degree$

$即2\alpha +2\beta +120\degree=360\degree$

$\therefore \alpha + \beta = 120\degree$

$则AB+AC=2r\cdot (\sin{\alpha}+\sin(120\degree -\alpha))=2\sqrt{3}r\cdot \sin(\alpha +30\degree)$

$令AB+AC=2BC,即2\sqrt{3}r\cdot \sin(\alpha +30\degree)=2\sqrt{3}r$

$又\because \alpha >0\degree,\therefore 解得\alpha =60\degree$

$此时\angle AOB=\angle AOC=120\degree 即\triangle ABC为等边三角形$

$\therefore 仅当\triangle 为等边三角形时，才满足AB+AC=2BC$

$\therefore 原命题得证$

小结#

只要有一定的知识储备量，没有什么事情是圆和三角函数解决不了的！