定义#

反演变换与平移、旋转、对称变换等类似，也属于一种几何变换，但它更像是作一个图形关于圆的镜像。简单来讲，其定义如下：在同一平面内，有共线的三点 $A,O,A'$，其中 $O$ 为定点，且 $OA\cdot OA'=k$，其中 $k$ 为常数，则从点 $A$ 到点 $A'$ 的变换称为**“反演变换”，记作 $I(O,k)$，那么定点 $O$ 即反演中心**，常数 $k$ 为反演幂，点 $A'$ 被称为 $A$ 的反点。对于反演变换 $I(O,k)$，令 $r=\sqrt{k}$，则以反演中心 $O$ 为圆心，$r$ 为半径的圆称为反演变换 $I(O,k)$ 的反演圆或基圆，常数 $r$ 为反演半径。如下图所示。

性质#

反演变换的性质有很多条，由于篇幅有限，而且出于入门目的，这里仅简单列举两条易懂且常用的性质。

应用#

了解完反演变换的两条基本性质，那么就进入正题：反演变换在初中数学中的应用。

初中数学的反演变换通常会出现在求解动点轨迹的一类问题中，尤其是双动点问题（含一主动点和一从动点），当然部分求最值问题的本质也是求出动点轨迹。

根据反演变换的定义，主动点与从动点的关系必须要满足**“定积定角”**，需要区分瓜豆原理的“定比定角”。以下会举一个简单的例子进行说明。

平面内有一定点 $O$ 和两个动点 $P,Q$，其中点 $Q$ 随点 $P$ 的运动而运动，现已知点 $P$ 的运动轨迹，且 $OP\cdot OQ=k$，$\angle POQ=\theta$，其中 $k$ 为常数，$\theta$ 为定值，请求出点 $Q$ 的运动轨迹。

第Ⅰ类#

点 $P$ 在过点 $O$ 的直线上运动（线生线）

显然，由于此时 $\angle POQ$ 的一边 $OP$ 所在直线固定，则另一边 $OQ$ 所在直线也固定，故点 $Q$ 在如图所示蓝色直线（过点 $O$ 的直线）上运动。动图如下。

这一类即所谓线生线。

第Ⅱ类#

点 $P$ 在不经过点 $O$ 的直线上运动（线生圆）

肉眼可见地，这一类与上一类有了天差地别，点 $Q$ 地运动轨迹竟然是个圆！证明如下。

$$\begin{align} &过点O作OH\perp HP于点H，在平面内取一点G，使得\angle HOG=\angle POQ，且\angle OQG=90\degree，连接OG，QG，取OG中点M.\\ &\because \angle HOG=\angle POQ\\ &\therefore \angle HOG+\angle POG=\angle POQ+\angle POG\\ &即\angle POH=\angle GOQ\\ &\because OH\perp HP\\ &\therefore \angle PHO=90\degree=\angle GQO\\ &\therefore \triangle POH\backsim \triangle GOQ\\ &\therefore \frac{OP}{OG}=\frac{OH}{OQ}\\ &即OH\cdot OG=OP\cdot OQ=k\\ &\because OH为定值，k为常数\\ &\therefore OG为定值\\ &又\because \angle HOG=\angle POQ为定值，OH固定\\ &\therefore OG固定\\ &\because \angle OQG=90\degree 为定角\\ &\therefore 点Q在以OG为直径的圆上运动\\ &\color{red}{\boldsymbol{即点Q在以M为圆心，OM为半径的圆上运动（过点O的圆）}}\\ \end{align}$$

动图如下。

这一类即所谓线生圆。

第Ⅲ类#

点 $P$ 在过点 $O$ 的圆 $M$ 上运动（圆生线）

这一类与第Ⅱ类十分类似，只是调换了以下顺序，所以其实时可以直接利用反演变换的性质1（可逆性）来解释。完整证明如下。

$$\begin{align} &连接OM并延长交\odot M于点H，连接PH，在平面内取一点G，使得\angle HOG=\angle POQ，且\angle OGQ=90\degree，连接OG，QG.\\ &由题，知OH为直径\\ &\therefore\angle OPH=90\degree=\angle OGQ\\ &\because\angle HOG=\angle POQ\\ &\therefore HOG-\angle HOQ=\angle POQ-\angle HOQ\\ &即\angle GOQ=\angle POH\\ &又\because\angle OPH=\angle OGQ\\ &\therefore\triangle POH\backsim\triangle GOQ\\ &\therefore\frac{OP}{OG}=\frac{OH}{OQ}\\ &即OH\cdot OG=OP\cdot OQ=k\\ &\because OH为定值，k为常数\\ &\therefore OG为定值\\ &又\because\angle HOG=\angle POQ为定值，OH固定\\ &\therefore OG固定\\ &\because \angle OGQ=90\degree 为定角\\ &\therefore 点Q在过点G且垂直于OG的直线上运动\\ &\color{red}{\boldsymbol{即点Q在如图所示的蓝色直线上运动（不经过点O的直线）}}\\ \end{align}$$

动图如下。

这一类即所谓圆生线。

总结#

综上所述，反演变换的大多数题目都是由相似解决的，有些甚至还用到了圆幂定理，可见反演变换套路之复杂。当然，以上列举的还仅仅时反演变换最基础的内容，不过即便这样也足以解决 90% 的初中反演类型的题目了，就如2025年广东省广州市越秀区一模卷的第25题第(3)小问，恰好就是反演变换中线生圆的模型题。所以这么重要的知识，还是得好好掌握啊。

读完这篇文章，你也应该差不多已经入门反演变换了，后续我还会出更多相关的内容，希望各位可以动动手指主动分享一下，扩大知识的传播面，让身边更多的人能够了解这些技巧。